交流演習RL直列回路②　電圧が与えられるとき

問題

上図のように，交流電源，抵抗値$R$の抵抗，自己インダクタンス$L$のコイルによって回路をつくる．

時刻$t$において，Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$であるとき，回路に流れる電流を求めたい．

回路に流れる電流を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　Bに対するAの電位$V_{\rm R}(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$t$，$\phi$を用いて表せ．

(2)　Gに対するBの電位$V_{\rm L}$を$i_{0}$，$\omega$，$L$，$t$，$\phi$を用いて表せ．

(3)　Gに対するAの電位$V(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$L$，$t$，$\phi$と定数$\delta(>0)$を用いて表せ．ただし，$\tan\delta$も求めること．

(4)　(3)より，$i_{0}$を$V_{0}$，$R$，$L$，$\omega$を用いて表せ．

(5)　$i(t)$を$V_{0}$，$R$，$L$，$\omega$，$t$，$\delta$を用いて表せ．

<解答>

(1)

NEKO

交流では，最大値と位相のずれの2つを確認して解きましょう．

NEKO

抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます．

抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです．

また，電圧の最大値$V_{\rm R0}$，$i_{0}$，$R$には次の関係が成り立ちます．

$V_{\rm R0}=Ri_{0}$

以上のことから，$V_{\rm R}(t)$は次のようになります．

$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$　(答)

(2)

NEKO

抵抗とコイルには同じ電流が流れます．

コイルにかかる電圧の位相は，電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進みます．

コイルでは，先に電圧が変化し，その後に電流が変化します．

さらに，コンデンサーにかかる電圧の最大値を$V_{\rm L0}$とすると，次の関係が成り立ちます．

$V_{\rm L0}=\omega Li_{0}$

以上のことから，時刻$t$におけるGに対するBの電位$V_{\rm L}$は次のようになります．

$\eqalign{V_{\rm L}&=V_{\rm L0}\sin(\omega t+\phi+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)}$　(答)

(3)　

NEKO

キルヒホッフ則より，

$V(t)=V_{\rm R}+V_{\rm L}$

です．途中，三角関数の合成を使ってまとめましょう．

$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}+V_{\rm L}\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)+\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)}$　(答)

ただし，$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$　(答)

(4)

NEKO

問題文で与えられた

$V(t)=V_{0}\sin\omega t$

と(3)で得た，

$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)$

を比較しましょう．

★　最大値部分の比較

$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$

$\therefore　i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$　(答)

★　位相部分の比較

$\omega t=\omega t+\phi +\delta$

$\therefore　\phi=-\delta$

(5)　

$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$と$\phi=-\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入して

$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\sin(\omega t-\delta)$　(答)

ただし，$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$