交流演習RL直列回路② 電圧が与えられるとき

演習問題
問題

上図のように,交流電源,抵抗値$R$の抵抗,自己インダクタンス$L$のコイルによって回路をつくる.

時刻$t$において,Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$であるとき,回路に流れる電流を求めたい.

回路に流れる電流を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$とするとき,次の問いに答えよ.

(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}(t)$を$i_{0}$,$\omega$,$R$,$t$,$\phi$を用いて表せ.

(2) Gに対するBの電位$V_{\rm L}$を$i_{0}$,$\omega$,$L$,$t$,$\phi$を用いて表せ.

(3) Gに対するAの電位$V(t)$を$i_{0}$,$\omega$,$R$,$L$,$t$,$\phi$と定数$\delta(>0)$を用いて表せ.ただし,$\tan\delta$も求めること.

(4) (3)より,$i_{0}$を$V_{0}$,$R$,$L$,$\omega$を用いて表せ.

(5) $i(t)$を$V_{0}$,$R$,$L$,$\omega$,$t$,$\delta$を用いて表せ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

交流では,最大値と位相のずれの2つを確認して解きましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

NEKO
NEKO

抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます.

抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです.

また,電圧の最大値$V_{\rm R0}$,$i_{0}$,$R$には次の関係が成り立ちます.

$V_{\rm R0}=Ri_{0}$

以上のことから,$V_{\rm R}(t)$は次のようになります.

$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$ (答)

(2)

NEKO
NEKO

抵抗とコイルには同じ電流が流れます.

コイルにかかる電圧の位相は,電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進みます.

コイルでは,先に電圧が変化し,その後に電流が変化します.

さらに,コンデンサーにかかる電圧の最大値を$V_{\rm L0}$とすると,次の関係が成り立ちます.

$V_{\rm L0}=\omega Li_{0}$

以上のことから,時刻$t$におけるGに対するBの電位$V_{\rm L}$は次のようになります.

$\eqalign{V_{\rm L}&=V_{\rm L0}\sin(\omega t+\phi+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

キルヒホッフ則より,

$V(t)=V_{\rm R}+V_{\rm L}$

です.途中,三角関数の合成を使ってまとめましょう.

$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}+V_{\rm L}\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)+\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)}$ (答)

ただし,$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$ (答)

(4)

NEKO
NEKO

問題文で与えられた

$V(t)=V_{0}\sin\omega t$

と(3)で得た,

$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)$

を比較しましょう.

★ 最大値部分の比較

$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$

$\therefore i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$ (答)

★ 位相部分の比較

$\omega t=\omega t+\phi +\delta$

$\therefore \phi=-\delta$

(5) 

$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$と$\phi=-\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入して

$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\sin(\omega t-\delta)$ (答)

ただし,$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$

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