上図のように，交流電源，抵抗値$R$の抵抗，自己インダクタンス$L$のコイルによって回路をつくる．
時刻$t$において，Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$であるとき，回路に流れる電流を求めたい．
回路に流れる電流を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$t$，$\phi$を用いて表せ．
(2) Gに対するBの電位$V_{\rm L}$を$i_{0}$，$\omega$，$L$，$t$，$\phi$を用いて表せ．
(3) Gに対するAの電位$V(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$L$，$t$，$\phi$と定数$\delta(>0)$を用いて表せ．ただし，$\tan\delta$も求めること．
(4) (3)より，$i_{0}$を$V_{0}$，$R$，$L$，$\omega$を用いて表せ．
(5) $i(t)$を$V_{0}$，$R$，$L$，$\omega$，$t$，$\delta$を用いて表せ．
<解答>
(1)
交流では，最大値と位相のずれの2つを確認して解きましょう．
● 最大値について
回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，流れる電流の最大値を$I_{0}$，リアクタンス（または抵抗）を$Z$とする．
このとき，次の関係が成り立つ．
$V_{0}=ZI_{0}$
$Z$は回路素子できまる．各周波数を$\omega$として
抵抗値$R$の抵抗のとき，$Z=R$
電気容量$C$のコンデンサーのとき，$Z=\dfrac{1}{\omega C}$
自己インダクタンス$L$のコイルのとき，$Z=\omega L$
● 位相のずれについて
1）電圧に対する電流の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
2)電流に対するで電圧の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます．
抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです．
また，電圧の最大値$V_{\rm R0}$，$i_{0}$，$R$には次の関係が成り立ちます．
$V_{\rm R0}=Ri_{0}$
以上のことから，$V_{\rm R}(t)$は次のようになります．
$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$ (答)
(2)
抵抗とコイルには同じ電流が流れます．
コイルにかかる電圧の位相は，電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進みます．
コイルでは，先に電圧が変化し，その後に電流が変化します．
さらに，コンデンサーにかかる電圧の最大値を$V_{\rm L0}$とすると，次の関係が成り立ちます．
$V_{\rm L0}=\omega Li_{0}$
以上のことから，時刻$t$におけるGに対するBの電位$V_{\rm L}$は次のようになります．
$\eqalign{V_{\rm L}&=V_{\rm L0}\sin(\omega t+\phi+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)}$ (答)
(3)
キルヒホッフ則より，
$V(t)=V_{\rm R}+V_{\rm L}$
です．途中，三角関数の合成を使ってまとめましょう．
$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}+V_{\rm L}\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)+\omega Li_{0}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)}$ (答)
ただし，$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$ (答)
(4)
問題文で与えられた
$V(t)=V_{0}\sin\omega t$
と(3)で得た，
$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi +\delta)$
を比較しましょう．
★ 最大値部分の比較
$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$
$\therefore i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$ (答)
★ 位相部分の比較
$\omega t=\omega t+\phi +\delta$
$\therefore \phi=-\delta$
(5)
$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$と$\phi=-\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入して
$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\sin(\omega t-\delta)$ (答)
ただし，$\tan\delta =\dfrac{\omega L}{R}$
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