水平でなめらかな床の上に質量$m_{1}$の物体$\rm A$と質量$m_{2}$の物体$\rm B$がある．静止している物体$\rm B$に速さ$v_{0}$の物体$\rm A$を衝突させる．$\rm A$と$\rm B$のはねかえり係数を$e$として，次の問いに答えよ．
(1) 衝突直後の$\rm A$と$\rm B$の速度をそれぞれ$v_{1}$，$v_{2}$とする．このとき，運動量保存則とはねかえり係数の式を立てよ．
(2) (1)より$v_{1}$，$v_{2}$を$m_{1}$，$m_{2}$，$v_{0}$を用いて表せ．
＜解答＞
運動量保存則とはねかえり係数の式を確認しましょう．
質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の速度を$v_{1}$，$v_{2}$とする．
物体1と物体2の力積の和が0のとき，次の式が成り立つ．
$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=$一定
これを運動量保存則という．
運動量保存則は次のようなときに立てることが多い．
．2つ以上の物体の運動
・水平方向の成分の力の和が0のとき
・鉛直方向であっても，空中衝突や空中分裂などの，非常に短い時間で外力がはたらく場合は，近似的に運動量保存則を立てる．
衝突前の物体の速度を$v_{1}$，$v_{2}$，衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$とするとき，はねかえり係数（反発係数）の式を次のように定義する．
$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$
$e=1$のときを弾性衝突といい，力学的エネルギーが保存する．
また，$e=0$のときを完全非弾性衝突という．
★ 運動量保存則より
$m_{1}v_{0}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$ $\dots (\ast)$ (答)
★ はねかえり係数の式
$e=-\dfrac{v_{1}-v_{2}}{v_{0}-0}$ $\dots (2\ast)$ (答)
(2)
$(2\ast)$より
$v_{2}=v_{1}+ev_{0}$ $\dots (3\ast)$
と変形して，$(\ast)$に代入しましょう．
$\eqalign{m_{1}v_{0}&=m_{1}v_{1}+m_{2}(v_{1}+ev_{0})\cr (m_{1}+m_{2})v_{1}&=(m_{1}-em_{2})v_{0}\cr v_{1}&=\dfrac{m_{1}-em_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{0}}$ (答)
これを$(3\ast)$に代入すると
$\eqalign{v_{2}&=\dfrac{m_{1}-em_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{0}+ev_{0}\\&=\left(\dfrac{m_{1}-em_{2}}{m_{1}+m_{2}}+\dfrac{em_{1}+em_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{0}\\&=\dfrac{(e+1)m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{0}}$ (答)
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