[演習]万有引力の問題4 楕円運動 | Physicmath（フィジクマス）

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上図のようにOに質量$M$の恒星があり，そのまわりを質量$m$の惑星が楕円運動している．

楕円運動している際に惑星がもっとも恒星に近づくときの点をA，もっとも遠ざかるときの点をBとする．AO間の距離を$r_{1}$，BO間の距離を$r_{2}$とし，Aでの惑星の速さを$v_{1}$，Bでの惑星の速さを$v_{2}$とするとき，次の各問いに答えよ．ただし，万有引力定数を$G$とし，$r_{1}\neq r_{2}$とする．

(1)　A点とB点において，面積速度一定の式を立てよ．

(2)　A点とB点において，力学的エネルギー保存則を立てよ．ただし，万有引力による位置エネルギーの基準は無限遠とする．

(3)　(1)(2)より，$v_{1}$，$v_{2}$をそれぞれ$G$，$M$，$m$，$r_{1}$，$r_{2}$を用いて表せ．

PHYさん

楕円運動の問題のときに立てて欲しい式は次の2つです．

今回は，問題文で立式を指定されていますが，いつでも出てくるようにしましょう．

楕円運動の問題のときに立てる式

面積速度一定の法則
力学的エネルギー保存則

NEKO

面積速度一定の法則については，こちらの記事で説明があります．

まとめると，次のようになります．

面積速度一定の法則

$\rm O$を中心として物体が運動しているときを考える．

物体の軌道面と平行な力が中心$\rm O$（または中心軸）を向くとき，面積速度$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}$が一定となる．

面積速度は中心$\rm O$と物体を結ぶ線分が単位時間あたりに通過する面積である．

上図のように，$\rm O$と物体の距離が$r$，物体の速さを$v$，$\rm O$と物体を結ぶ線分と速度とのなす角を$\theta$とすると，面積速度は

$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$

PHYさん

A点とB点の面積速度は上図の赤色部分の面積です．

★　面積速度一定の法則

$\dfrac{1}{2}r_{1}v_{1}=\dfrac{1}{2}r_{2}v_{2}$　$\dots　(\ast)$ （答）

(2)　

PHYさん

次に力学的エネルギー保存則です．

万有引力による位置エネルギーの式を確認しましょう．

万有引力による位置エネルギー

質量$M$と質量$m$の物体の距離を$r$とする．万有引力の位置エネルギーの基準点を無限遠とし，万有引力定数を$G$とすると，万有引力のよる位置エネルギー$U$は

$U=-G\dfrac{Mm}{r}$

★　力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-G\dfrac{Mm}{r_{1}}=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}-G\dfrac{Mm}{r_{2}}$　$\dots　(2\ast)$　(答)

(3)

NEKO

$(\ast)$，$(2\ast)$を解きましょう．

$(\ast)$より

$v_{2}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}v_{1}$　$\dots　(3\ast)$

$(2\ast)$の両辺を$m$で割って，$2$をかけると

$v_{1}^{2}-\dfrac{2GM}{r_{1}}=v_{2}^{2}-\dfrac{2GM}{r_{2}}$

$\therefore　v_{1}^{2}-v_{2}^{2}=2GM\left(\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}\right)$

上式に$(3\ast)$を代入して整理する，途中$r_{1}\neq r_{2}$も考慮して

$\eqalign{v_{1}^{2}-\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}}v_{1}\right)^{2}&=2GM\dfrac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}\cr \dfrac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}v_{1}^{2}&=2GM\dfrac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}\cr \dfrac{(r_{2}+r_{1})\cancel{(r_{2}-r_{1})}}{r_{2}^{\cancel{2}}}v_{1}^{2}&=2GM\dfrac{\cancel{r_{2}-r_{1}}}{r_{1}\cancel{r_{2}}}}$

$\therefore　v_{1}=\sqrt{\dfrac{2r_{2}GM}{r_{1}(r_{1}+r_{2})}}$　(答)

$(3\ast)$より

$\eqalign{v_{2}&=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}v_{1}\\&=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{\dfrac{2r_{2}GM}{r_{1}(r_{1}+r_{2})}}}$　

$\therefore　v_{2}=\sqrt{\dfrac{2r_{1}GM}{r_{2}(r_{1}+r_{2})}}$　(答)