電荷保存則演習6 帯電している金属板の挿入

コンデンサー
問題

面積$S$の同形の極板A,Bが距離$d$を隔てて平行になるように固定されている.

図1のように,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$とアースを接続する.

はじめ,スイッチは開かれていて,極板A,Bには電荷が蓄えられていないとする.

図1の状態から,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$を閉じ,極板A,Bと同形で面積$S$で電荷$Q$($Q>0$)が帯電している極板Cを極板A,Bと平行になるように挿入する.極板Cを挿入した位置は極板Bから距離$x$($0<x<d$)であった.

このとき,極板Aと極板Bに蓄えている電荷$Q_{\rm A}$,$Q_{\rm B}$を求めよ.

ただし,空気中の誘電率を$\varepsilon_{0}$とする.

<解答>

電荷保存則

孤立した部分の電荷の総和は変化しない.これを電荷保存則という.

たとえば,上図のように点線部分の孤立した場所の電荷について考えると

$Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=Q_{1}^{\prime}+Q_{2}^{\prime}+Q_{3}^{\prime}$

が成り立つ.

電気容量の定義式(コンデンサーの基本式)

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

NEKO
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極板を挿入する問題では,次のように,2つのコンデンサーに分けて考えるとよいでしょう.

NEKO
NEKO

極板Cと極板Aで形成されるコンデンサーを$\rm C_{1}$,極板Cと極板Bで形成されるコンデンサーを$\rm C_{2}$とします.

$\rm C_{1}$の電気容量は,$\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d-x}$,$\rm C_{2}$の電気容量は,$\varepsilon_{0}\dfrac{S}{x}$ですね.

青い部分の電位がアースにつながっているので0として,赤い部分の電位を$V$としましょう.

さらに,上図のように,電荷を設定します.

電荷保存則とコンデンサーの式を立てましょう.

★ 電荷保存則

赤い部分の電荷保存則

$Q_{1}+Q_{2}=Q$ $\dots (\ast)$

コンデンサー$\rm C_{1}$と$\rm C_{2}$の式

$Q_{1}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d-x}V$ $\dots (2\ast)$

$Q_{2}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{x}V$ $\dots (3\ast)$

$(2\ast)$と$(3\ast)$を$(\ast)$に代入して$V$を求める

$\eqalign{\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d-x}V+\varepsilon_{0}\dfrac{S}{x}V&=Q\cr \varepsilon_{0}S(\dfrac{1}{d-x}+\dfrac{1}{x})V&=Q\cr \varepsilon_{0}S(\dfrac{1}{d-x}+\dfrac{1}{x})V&=Q\cr V&=\dfrac{(d-x)x}{\varepsilon_{0}Sd}Q}$

これを$(\ast)$と$(2\ast)$に代入して

$\eqalign{Q_{1}&=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d-x}\cdot \dfrac{(d-x)x}{\varepsilon_{0}Sd}Q\\&=\dfrac{x}{d}Q }$

$\eqalign{Q_{2}&=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{x}\cdot \dfrac{(d-x)x}{\varepsilon_{0}Sd}Q\\&=\dfrac{d-x}{d}Q}$

したがって,極板A,Bに蓄えられている電荷は

$Q_{\rm A}=-Q_{1}=-\dfrac{x}{d}Q$

$Q_{\rm B}=-Q_{2}=-\dfrac{d-x}{d}Q$

NEKO
NEKO

ちなみに,それぞれの極板の電荷分布は次のようになっています.

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