図のように，厚い平面ガラス板の上に平凸レンズを置く．レンズは中心の位置Oでガラス板と接触していて，ガラス板の平面とレンズの平面は平行になっている．また，ガラス板と平凸レンズの間には，空気に対する相対屈折率$n^{\prime}$の液体で満たされている．レンズの平面側の上方から波長$\lambda$の単色光を平面に直角に照射して，レンズの平面側から眺める．すると，光の明暗の線が同心円状に交互に観測される．レンズの中心線からの距離を$r$，その位置でのレンズとガラス板の間の液体層の厚みを$d$とする．レンズの曲面は中心を$\rm O^{\prime}$とする曲率半径$R$の球面の一部とみなす．空気に対するレンズおよびガラス板の屈折率を$n$とし，$R$は，$r$に比べて十分大きいとする．照射した光のAにおける反射光とBにおける反射光の干渉を考えるとして，次の問いに答えよ．
(1) $n>n^{\prime}>1$のとき，中心Oより$m$番目$(m=1 , 2 , \dots)$の明環のOからの距離$r$を$m$，$R$，$n$，$\lambda$を用いて表せ．
(2) $n>n^{\prime}>1$のとき，中心Oより$m$番目$(m=1 , 2 , \dots)$の暗環のOからの距離$r$を$m$，$R$，$n$，$\lambda$を用いて表せ．
(3) $n>n^{\prime}>1$のとき，中心付近は明るいか，暗いか．
＜解答＞
(1)
経路差は$2d=\dfrac{r^{2}}{R}$です．（こちらでで確認してください．）
また，Aで自由端反射，Bで固定端反射することから，反射による位相のずれが$\pi$となります．
反射による位相のずれは次のことを覚えておきましょう．
また，位相差は次のことを確認しましょう．
地点Pにおける2つの波の位相差を$\phi$，整数を$m$とすると，
強め合いの条件：$\phi=2\pi m$
弱め合いの条件：$\phi=(2m+1)\pi $
位相差$\phi$は次の3つの要素で決まる．
$\phi_{1}$：初期位相のずれ
同位相なら$\phi_{1}=0$，逆位相なら$\phi_{1}=\pi$
$\phi_{2}$：反射による位相のずれ
自由端反射なら$\phi_{2}=0$，固定端反射なら$\phi_{2}=\pi$
$\phi_{3}$：距離の差（屈折率が変わることで生じる光学的な距離の差を含む）による位相のずれ
距離の差が$\Delta l$のとき，次の比例式を立てて，位相差$\phi_{3}$を計算する．
$2\pi : \lambda =\phi_{3} : \Delta l$
$\therefore \phi_{3}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l$
このとき，位相差$\phi$は
$\phi=\phi_{1}+\phi_{2}+\phi_{3}$
2つの光の位相差$\varDelta \varphi$は次のようになります．
屈折率$n^{\prime}$での波長が$\dfrac{\lambda}{n^{\prime}}$であることに注意しましょう．
★ 位相差
$\eqalign{\varDelta\varphi&=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\lambda}{n^{\prime}}}\cdot \dfrac{r^{2}}{R}+\pi\\&=\dfrac{2\pi n^{\prime}r^{2}}{R\lambda}+\pi}$
したがって，明環条件は次のようになります．
$\eqalign{\varDelta\varphi&=\pi \cdot 2m\\r&=\sqrt{\left(m-\dfrac{1}{2}\right)R\cdot\dfrac{\lambda}{n^{\prime}}}}$ (答)
(2)
★ 暗環条件
$\eqalign{\varDelta\varphi&=\pi \cdot (2m-1)\cr r&=\sqrt{\left(m-1\right)R\cdot \dfrac{\lambda}{n^{\prime}}}}\\$ (答)
(3)
(2)において，$m=1$のとき，$r=0$であるから，中心O付近は暗くなります．(答)
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