今回は，単振り子の問題です．
振り子運動の中でも振幅が微小なものを考えます．
まずは，基本事項の確認です．
上図のように，長さ$l$の糸にくくりつけられた質量$m$の物体の単振り子運動を考えます．
物体が運動しているとき，位置$x$にいるときの物体の加速度を$a$とします．
図は物体が$x>0$にあるときのことを考えています．
物体にはたらく力は重力$mg$と張力$S$（$S>0$)です．
張力を鉛直方向と水平方向に分解すると
水平負の方向に$S\cos\theta$と鉛直上向きに$S\sin\theta$となります．
ここで近似です．
$\clubsuit$2つの近似$\clubsuit$
- 鉛直方向はほとんど動いていないので，常につり合っているとみなす．
- $|\theta|\ll 1$のとき$\cos\theta\approx 1$
では，鉛直方向のつり合いの式と水平方向の運動方程式を立てましょう．
★鉛直方向のつり合いの式
$S\cos\theta =mg$
$\cos\theta \approx 1$より
$S\approx mg$ $\dots (\ast)$
★水平方向の運動方程式
$ma=-S\sin\theta$
$(\ast)$より，$S=mg$を代入して
$ma=-mg\sin\theta$
また，$x=l\sin\theta$の関係を上式に入れて
$mas=-mg\cdot \dfrac{x}{l}=-\dfrac{mg}{l}x$ $\dots (2\ast)$
運動方程式から，中心が$x=0$で角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}$，周期$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$の単振動であることがわかるね．
それでは，単振り子の問題を解いてみましょう．
図のように，水平な床の上に台が固定されている．
この台は半径$r$の円形状のなめらかなすべり面がある．
このすべり面の最下点の位置から少しずらした場所に質量$m$の大きさの無視できる物体を静かに置いたところ，単振動した．
このときの単振動の周期を求めよ．
<解答>
さきほどの糸による張力が垂直抗力になっただけだね．
図のように座標をとります．
同じく上図では$x>0$のときです．
物体が位置$x$にあるときの加速度を$a$としましょう．
また，物体にはたらく垂直抗力の大きさを$N$として，$x$軸方向と，それに垂直な方向に分解します．
そして，鉛直方向がつり合っていると近似して，鉛直方向のつり合いの式と$x$軸方向の運動方程式を立てます．
★ 鉛直方向のつり合いの式
$N\cos\theta =mg$
微小な振幅の振動なので，$\cos\theta\approx 1$より
$N\approx mg$ $\dots (\heartsuit)$
★ $x$軸方向の運動方程式
$ma=-N\sin\theta$
$(\heartsuit)$より
$ma=-mg\sin\theta$
また，$x=r\sin\theta$より
$ma=-mg\cdot \dfrac{x}{r}=-\dfrac{mg}{r}x$
したがって，物体の角振動数$\omega$と周期$T$は
$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{r}}$
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{g}}$
したがって，答えは$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{g}}$です．
単振り子は，近似の仕方がポイントだよ．
実は別な近似の仕方もあるので，最後に紹介しておくね．
上図のように軌道にそって$x$軸をとります．
重力を軌道の方向とそれに対して垂直な方向に分解して，軌道の方向の運動方程式を立てます．
★ 運動方程式
$ma=-mg\sin\theta$
$|\theta|\ll 1$のとき$\sin\theta \approx \theta$の近似式を使って
$ma \approx -mg\theta$ $\dots (\spadesuit)$
また，円の弧の長さと半径と中心角の関係より
$x=l\theta$ $\therefore \theta =\dfrac{x}{l}$
これを$(\spadesuit)$に代入して
$ma=-mg\cdot \dfrac{x}{l}=-\dfrac{mg}{l}x$
これで同じ形の運動方程式になりました！
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[…] [標準]単振動演習⑧や[標準]単振動演習⑨があります． […]