[標準]単振動の演習問題⑧ 単振り子①

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NEKO
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今回は,単振り子の問題です.

振り子運動の中でも振幅が微小なものを考えます.

まずは,基本事項の確認です.

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上図のように,長さ$l$の糸にくくりつけられた質量$m$の物体の単振り子運動を考えます.

物体が運動しているとき,位置$x$にいるときの物体の加速度を$a$とします.

図は物体が$x>0$にあるときのことを考えています.

物体にはたらく力は重力$mg$と張力$S$($S>0$)です.

張力を鉛直方向と水平方向に分解すると

水平負の方向に$S\cos\theta$と鉛直上向きに$S\sin\theta$となります.

ここで近似です.

$\clubsuit$2つの近似$\clubsuit$

  • 鉛直方向はほとんど動いていないので,常につり合っているとみなす.
  • $|\theta|\ll 1$のとき$\cos\theta\approx 1$
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では,鉛直方向のつり合いの式と水平方向の運動方程式を立てましょう.

★鉛直方向のつり合いの式

$S\cos\theta =mg$

$\cos\theta \approx 1$より

$S\approx mg$ $\dots (\ast)$

★水平方向の運動方程式

$ma=-S\sin\theta$

$(\ast)$より,$S=mg$を代入して

$ma=-mg\sin\theta$

また,$x=l\sin\theta$の関係を上式に入れて

$mas=-mg\cdot \dfrac{x}{l}=-\dfrac{mg}{l}x$ $\dots (2\ast)$

NEKO
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運動方程式から,中心が$x=0$で角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}$,周期$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$の単振動であることがわかるね.

NEKO
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それでは,単振り子の問題を解いてみましょう.

問題

図のように,水平な床の上に台が固定されている.

この台は半径$r$の円形状のなめらかなすべり面がある.

このすべり面の最下点の位置から少しずらした場所に質量$m$の大きさの無視できる物体を静かに置いたところ,単振動した.

このときの単振動の周期を求めよ.

<解答>

NEKO
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さきほどの糸による張力が垂直抗力になっただけだね.

NEKO
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図のように座標をとります.

同じく上図では$x>0$のときです.

物体が位置$x$にあるときの加速度を$a$としましょう.

また,物体にはたらく垂直抗力の大きさを$N$として,$x$軸方向と,それに垂直な方向に分解します.

そして,鉛直方向がつり合っていると近似して,鉛直方向のつり合いの式と$x$軸方向の運動方程式を立てます.

★ 鉛直方向のつり合いの式

$N\cos\theta =mg$

微小な振幅の振動なので,$\cos\theta\approx 1$より

$N\approx mg$ $\dots (\heartsuit)$

★ $x$軸方向の運動方程式

$ma=-N\sin\theta$

$(\heartsuit)$より

$ma=-mg\sin\theta$

また,$x=r\sin\theta$より

$ma=-mg\cdot \dfrac{x}{r}=-\dfrac{mg}{r}x$

したがって,物体の角振動数$\omega$と周期$T$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{r}}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{g}}$

したがって,答えは$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{g}}$です.

NEKO
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単振り子は,近似の仕方がポイントだよ.

実は別な近似の仕方もあるので,最後に紹介しておくね.

NEKO
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上図のように軌道にそって$x$軸をとります.

重力を軌道の方向とそれに対して垂直な方向に分解して,軌道の方向の運動方程式を立てます.

★ 運動方程式

$ma=-mg\sin\theta$

$|\theta|\ll 1$のとき$\sin\theta \approx \theta$の近似式を使って

$ma \approx -mg\theta$ $\dots (\spadesuit)$

また,円の弧の長さと半径と中心角の関係より

$x=l\theta$ $\therefore \theta =\dfrac{x}{l}$

これを$(\spadesuit)$に代入して

$ma=-mg\cdot \dfrac{x}{l}=-\dfrac{mg}{l}x$

NEKO
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これで同じ形の運動方程式になりました!

コメント

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