断面積$S\, [\rm m^{2}]$のU字管に密度$\rho\, [\rm kg/m^{3}]$の液体が入っている．この液体の体積は$SL\, [\rm m^{3}]$である．U字管の左右の液面に高さの差をつけて開放したところ，液面は単振動をした．ただし，大気圧は一定の$P_{0}\, [\rm N/m^{2}]$であり，重力角度加速度の大きさを$g\, [\rm m/s^{2}]$とする．
このとき，液面の単振動の周期$T\, [\rm s]$を求めよ．
＜解答＞
これって，液体には，重力と大気が押す力しかはたらいていないよね？？
大気が押す力は右側の液面も左側の液面も$P_{0}S\, [\rm N]$だから，復元力0なんじゃないの？？本当に単振動なんて起こるのかな？？
確かに，今回は大気が押す力は同じなので，この力は復元力にはなりません．
しかし，右側と左側の液体で体積が異なるので，重さも異なります．
この重さの差が復元力となるんです．
なにも力を加えないと左右の液面は同じ高さになります．このときの右側の液面を原点として，右側の液面が$x\, [\rm m]$だけ上に変位したときのことを考えましょう．このときの鉛直上向きの加速度を$a\, [\rm m/s^{2}]$とします．
なるほど！確かに，左側の液体と右側の液体では重さが違うね．右側の液体は左側の液体より，$2x\, [\rm m]$分長いから，$\rho \cdot 2x\cdot Sg$だけ重いんだ．
つまり，液体には，原点にもどるように重さ$2\rho Sxg$の力がはたらくんだね．
★ 運動方程式
$\rho SL a=-2\rho Sg x$
質量を$m$，加速度を$a$，物体の座標を$x$，$x_{0}$を定数，$k$を正の定数とする．
運動方程式が以下で表されている．
$ma=-k(x-x_{0})$
このとき，振動の中心は$x_{0}$，角振動数$\omega$と周期$T$は次のようになる．
$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
運動方程式より，角振動数$\omega$と，周期$T$は次のようになるね．
$\omega=\sqrt{\dfrac{2\rho Sg}{\rho SL}}=\sqrt{\dfrac{2g}{L}}$
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{2g}}$ (答)
コメント