[標準]単振動演習⑮ U字管の単振動

分野別
問題

断面積$S\, [\rm m^{2}]$のU字管に密度$\rho\, [\rm kg/m^{3}]$の液体が入っている.この液体の体積は$SL\, [\rm m^{3}]$である.U字管の左右の液面に高さの差をつけて開放したところ,液面は単振動をした.ただし,大気圧は一定の$P_{0}\, [\rm N/m^{2}]$であり,重力角度加速度の大きさを$g\, [\rm m/s^{2}]$とする.

このとき,液面の単振動の周期$T\, [\rm s]$を求めよ.

<解答>

NEKO
NEKO

これって,液体には,重力と大気が押す力しかはたらいていないよね??

大気が押す力は右側の液面も左側の液面も$P_{0}S\, [\rm N]$だから,復元力0なんじゃないの??本当に単振動なんて起こるのかな??

PHYさん
PHYさん

確かに,今回は大気が押す力は同じなので,この力は復元力にはなりません.

しかし,右側と左側の液体で体積が異なるので,重さも異なります.

この重さの差が復元力となるんです.

なにも力を加えないと左右の液面は同じ高さになります.このときの右側の液面を原点として,右側の液面が$x\, [\rm m]$だけ上に変位したときのことを考えましょう.このときの鉛直上向きの加速度を$a\, [\rm m/s^{2}]$とします.

NEKO
NEKO

なるほど!確かに,左側の液体と右側の液体では重さが違うね.右側の液体は左側の液体より,$2x\, [\rm m]$分長いから,$\rho \cdot 2x\cdot Sg$だけ重いんだ.

つまり,液体には,原点にもどるように重さ$2\rho Sxg$の力がはたらくんだね.

★ 運動方程式

$\rho SL a=-2\rho Sg x$

単振動の運動方程式の読み取り

質量を$m$,加速度を$a$,物体の座標を$x$,$x_{0}$を定数,$k$を正の定数とする.

運動方程式が以下で表されている.

$ma=-k(x-x_{0})$

このとき,振動の中心は$x_{0}$,角振動数$\omega$と周期$T$は次のようになる.

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

NEKO
NEKO

運動方程式より,角振動数$\omega$と,周期$T$は次のようになるね.

$\omega=\sqrt{\dfrac{2\rho Sg}{\rho SL}}=\sqrt{\dfrac{2g}{L}}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{2g}}$ (答)

コメント