図のように，抵抗値$R_{1}$，$R_{2}$の抵抗と内部抵抗が無視できる起電力$E$の直流電池を用いて，回路をつくった．図は途中までしかかかれていないが，図の右側部分には同じ構造のものが十分多く接続されている．$R_{1}=4r，R_{2}=r$のとき，直流電池に流れる電流の大きさを求めよ．
<解答>
とりあえず，繰り返し続く部分の合成抵抗を$R$とおいてみます．
今度はこの$R$の部分に着目しましょう．
$R_{1}=4r，R_{2}=r$として回路は，次のようになります．
回路がほぼ無限に続くので，上図の青色四角で囲まれた部分も$R$とみなしてよいでしょう．
$4r$と$R$は並列合成をしましょう．並列合成は，逆数の和を計算したものをさらに逆数をとると導出できます．
$\eqalign{\left(\dfrac{1}{4r}+\dfrac{1}{R}\right)^{-1}&=\left(\dfrac{4r+R}{4Rr}\right)^{-1}\\&=\dfrac{4Rr}{4r+R}}$
この計算より，抵抗$R$は下図のように，$r$と$\dfrac{4Rr}{4r+R}$と$r$を直列に接続したものであることがわかります．直列合成は，単純に抵抗の足し算をすれば導出できます．
$\eqalign{R&=r+\dfrac{4Rr}{4r+R}+r\\&=2r+\dfrac{4Rr}{4r+R}}$
両辺$4r+R$をかけて整理する．
$\eqalign{R(4r+R)&=2r(4r+R)+4Rr\cr \cancel{4Rr}+R^{2}&=8r^{2}+2Rr+\cancel{4Rr}\cr R^{2}-2rR-8r^{2}&=0\cr (R-4r)(R+2r)&=0}$
$R=4r$または$-r$となりますが，$R>0$より，$R=4r$であることがわかります．
したがって，複雑であった回路は次のようになります！
途中，$4r$と$4r$の並列合成もしています．
$\eqalign{\left(\dfrac{1}{4r}+\dfrac{1}{4r}\right)^{-1}&=\left(\dfrac{1}{2r}\right)^{-1}\\&=2r}$
です．
直流電池に流れる電流を$i_{1}$とすると，キルヒホッフの法則より
$E-ri_{1}-2ri_{1}-ri_{1}=0$
$i_{1}=\dfrac{E}{4r}$ (答)
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