twitterの問題60の解答 万有引力がする仕事

力学

<問題>

<解答>

弾性力がする仕事について→ [よく間違う]弾性力がする仕事

静電気力がする仕事について → [割と間違う]静電気力(クーロン力)がする仕事と外力がする仕事

保存力がする仕事は積分計算を用いて直接計算もできますが,以下のことを利用すると簡単です.

位置エネルギー変化と保存力がする仕事の関係

保存力がする仕事を$W$,位置エネルギー変化を$\varDelta U$とすると,次の式が成り立つ.

$\varDelta U=-W$

無限遠を基準にすると,重心間の距離が$r$で質量が$M,m$の物体があるときの万有引力による位置エネルギー$U$は,万有引力定数を$G$とすると

$U=-G\dfrac{Mm}{r}$

なのでB点とAの万有引力による位置エネルギー$U_{\rm B}$,$U_{\rm A}$は

$U_{\rm B}=-\dfrac{GMm}{r}$, $U_{\rm A}=-\dfrac{GMm}{R}$

したがって,万有引力がする仕事$W$は

\begin{align} W&=-\left(\varDelta U_{\rm A}-\varDelta U_{\rm B}\right)\\ &=-\left\{-\dfrac{GMm}{R}-\left(-\dfrac{GMm}{r}\right) \right\}\\ &=GMm\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right) \end{align}

したがって,答えは$GMm\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)$(答)

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