電荷保存則演習4 電位の設定3

コンデンサー
問題

電気容量$C$,$2C$,$3C$,$4C$のコンデンサー$\rm C_{1}$,$\rm C_{2}$,$\rm C_{3}$,$\rm C_{4}$と起電力$V$の電池$\rm E$,スイッチ$\rm S$が上図のように接続されている.

はじめ,スイッチは開いており,各コンデンサーには電荷が蓄えられていなかった.

この状態から,スイッチを閉じて十分時間が経った後にコンデンサー$\rm C_{1}$,$\rm C_{2}$,$\rm C_{3}$,$\rm C_{4}$に蓄えられた電荷を求めよ.

電気容量の定義式(コンデンサーの基本式)

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

電荷保存則

孤立した部分の電荷の総和は変化しない.これを電荷保存則という.

たとえば,上図のように点線部分の孤立した場所の電荷について考えると

$Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=Q_{1}^{\prime}+Q_{2}^{\prime}+Q_{3}^{\prime}$

が成り立つ.

NEKO
NEKO

スイッチを閉じて十分時間が経ち,電荷が移動した後の各コンデンサーに蓄えれた電荷と電位をそれぞれ,上右図のように設定します.

電位は,青い部分が基準の0,赤い部分は電池の起電力が$V$であることから$V$,紫部分を$V_{1}$,緑色部分を$V_{2}$としています.

①と②の点線部分の電荷保存則と,各コンデンサーのコンデンサーの式を立てましょう.

★ 電荷保存則

①の電荷保存則

$0=Q_{1}-Q_{4}$ $\therefore Q_{1}=Q_{4}$ $\dots (\ast)$

②の電荷保存則

$0=Q_{2}-Q_{3}$ $\therefore Q_{2}=Q_{3}$ $\dots (2\ast)$

★ コンデンサーの式

$Q_{1}=CV_{1}$ $\dots (\spadesuit)$

$Q_{2}=2CV_{2}$ $\dots (2\spadesuit)$

$Q_{3}=3C(V-V_{2})$ $\dots (3\spadesuit)$

$Q_{4}=4C(V-V_{1})$ $\dots (4\spadesuit)$

$(\spadesuit)$~$(4\spadesuit)$を$(\ast)$と$(2\ast)$に代入して$V_{1}$と$V_{2}$を求める.

$CV_{1}=4C(V-V_{1})$

$\therefore V_{1}=\dfrac{4}{5}V$ $\dots (3\ast)$

$2CV_{2}=3C(V-V_{2})$

$V_{2}=\dfrac{3}{5}V$ $\dots (4\ast)$

$(3\ast)$と$(4\ast)$を$(\spadesuit)$~$(4\spadesuit)$に代入すると

$Q_{1}=\dfrac{4}{5}CV$

$Q_{2}=\dfrac{6}{5}CV$

$Q_{3}=\dfrac{6}{5}CV$

$Q_{4}=\dfrac{4}{5}CV$

コメント

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