運動量保存則演習3 2次元運動 | Physicmath（フィジクマス）

問題

図のように水平でなめらかな床の上に質量$M$の台があり，台は曲面$\rm AB$部分と，水平部分$\rm BCD$からなっている．曲面$\rm AB$および，水平部分$\rm BC$はなめらかであり，$\rm CD$は粗い面になっている．水平部分から高さ$h$の曲面の位置に質量$m$の物体をおき，台とともに静止させた状態から静かに手を放したところ，物体と台は運動をはじめた．ただし，速度の向きは上図の右向きである．

重力加速度の大きさを$g$として，次の問いに答えよ．

(1)　物体が$\rm B$にたどり着いた後，物体が$\rm BC$部分を運動しているときの静止した床から見た物体の速度を$v$，台の速度を$V$とする．$v$と$V$を$m$，$M$，$g$，$h$を用いて表せ．

(2)　(1)の後，物体は$\rm CD$部分に到達し，やがて台に対して静止した．このとき，台と物体の速度$V^{\prime}$を求めよ．

(3)　(2)において，物体は$\rm C$から距離$l$だけ滑って台に対して静止していた．このことから，物体と台の動摩擦係数$\mu$を$M$，$m$，$g$，$h$，$l$から必要なものを用いて表せ．

<解答>

(1)

NEKO

上図のように，物体と台にはたらく水平方向の力の和は0なので，台と物体を対象とした水平方向の運動量が保存します．

運動量保存則

質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の速度を$v_{1}$，$v_{2}$とする．

物体1と物体2の力積の和が0のとき，次の式が成り立つ．

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=$一定

これを運動量保存則という．

運動量保存則は次のようなときに立てることが多い．

．2つ以上の物体の運動

・水平方向の成分の力の和が0のとき

・鉛直方向であっても，空中衝突や空中分裂などの，非常に短い時間で外力がはたらく場合は，近似的に運動量保存則を立てる．

NEKO

また，台と物体を対象とした力学的エネルギーも保存します．

力学的エネルギーが保存する理由はこちらを参考にしてみてください．

★　運動量保存則

$0=mv+MV$　$\dots　(\ast)$

★　力学的エネルギー保存則

$mgh=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$　$\dots　(2\ast)$

$(\ast)$より，$v=-\dfrac{M}{m}V$と変形して$(2\ast)$に代入すると

$\eqalign{mgh&=\dfrac{1}{2}m\dfrac{M^{2}}{m^{2}}V^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}(\dfrac{M}{m}+1)&=mgh \cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\cdot \dfrac{M+m}{m}&=mgh\cr V^{2}&=\dfrac{2m^{2}gh}{M(M+m)}}$

$V<0$より

$\therefore　V=-m\sqrt{\dfrac{2gh}{M(M+m)}}$(答)

さらに，$v=-\dfrac{M}{m}V$より

$v=M\sqrt{\dfrac{2gh}{M(M+m)}}$　(答)

(2)