[演習]面積速度一定則2

分野別
面積速度一定の法則

$\rm O$を中心として物体が運動しているときを考える.

物体の軌道面と平行な力が中心$\rm O$(または中心軸)を向くとき,面積速度$\dfrac{\varDelta S}{\varDelta t}$が一定となる.

面積速度は中心$\rm O$と物体を結ぶ線分が単位時間あたりに通過する面積である.

上図のように,$\rm O$と物体の距離が$r$,物体の速さを$v$,$\rm O$と物体を結ぶ線分と速度とのなす角を$\theta$とすると,面積速度は

$\dfrac{\varDelta S}{\varDelta t}=\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$

問題

図のように,直円錐型容器の内側の面に沿った質量$m$の小球の運動について考える.ただし,容器の面はなめらかであり,小球の大きさおよび容器の厚さは無視できるものとする.また,円錐の軸は鉛直線と平行であり,円錐の半頂角は$\theta$である.円錐の頂点をOとし,重力加速度の大きさを$g$とする.

Oより高さ$z_{1}$の点Aにおいて,容器の面に沿って水平方向に小球を速さ$v_{1}$で打ち出したところ,小球は面に沿って運動しながら上昇し,Oより高さ$z_{2}$の点Bにおいて高さが最大となり,そのときの速さが$v_{2}$であった.このとき,次の問いに答えよ.

(1) AとBにおいて,面積速度一定則を立てよ.

(2) AとBにおいて,力学的エネルギー保存則を立てよ.

(3) (1),(2)より,$v_{1}$,$v_{2}$を$z_{1}$,$z_{2}$,$g$を用いて表せ.

<解答>

(1)

PHYさん
PHYさん

小球にはたらく力は垂直抗力と重力です.

このとき,垂直抗力の水平成分は常に円錐の中心軸に向かいます.

垂直抗力抗力の大きさを$N$とすると,中心軸に向かう成分は$N\sin\theta$となります.

小球の運動を鉛直真上からみると上右図のようになります.

常に中心軸に力がはたらくので,面積速度一定則が成り立ちます.

NEKO
NEKO

高さが$z$における中心軸からの距離は$z\tan\theta$となります.

AとBの間で面積速度一定則を立てましょう.

面積速度は右上図の色塗り部分です.

★ 面積速度一定則

$\dfrac{1}{2}z_{1}\tan\theta v_{1}=\dfrac{1}{2}z_{2}\tan \theta v_{2}$ (答)

$\therefore v_{2}=\dfrac{z_{1}}{z_{2}}v_{1}$ $\dots (\ast)$

(2) 

NEKO
NEKO

さらに,力学的エネルギー保存則を立てます.

★ 力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+mgz_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}+mgz_{2}$ (答)

$\therefore v_{1}^{2}-v_{2}^{2}=g(z_{2}-z_{1})$ $(2\ast)$

(3) 

PHYさん
PHYさん

$(\ast)$と$(2\ast)$から$v_{1}$,$v_{2}$を求めましょう.

$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して

$\eqalign{v_{1}^{2}-\dfrac{z_{1}^{2}}{z_{2}^{2}}v_{1}^{2}&=g(z_{2}-z_{1})\cr \dfrac{(z_{2}+z_{1})\cancel{(z_{2}-z_{1})}}{z_{2}^{2}}v_{1}^{2}&=g\cancel{(z_{2}-z_{1})}\cr v_{1}&=z_{2}\sqrt{\dfrac{2g}{z_{1}+z_{2}}}}$

さらに,$(\ast)$より,$v_{2}=z_{1}\sqrt{\dfrac{2g}{z_{1}+z_{2}}}$

NEKO
NEKO

ということで,

$v_{1}=z_{2}\sqrt{\dfrac{2g}{z_{1}+z_{2}}}$ (答)

$v_{2}=z_{1}\sqrt{\dfrac{2g}{z_{1}+z_{2}}}$ (答)

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