前回，LC振動回路を扱って，電荷や電流，電位が単振動（$\sin$や$\cos$の時間変化）をすることを確認したね．
コンデンサー2つを直列に結んだ場合はどうなるんだろう？？
入試問題では，コンデンサーを直列合成して解くことが多いですね．
ただし，入試問題では2つのコンデンサーの間の電荷の和が0の場合とそうでない場合があります．今回は，上図のように，電荷の和が0の場合についてです．
直列合成すると，前回の内容と同様に考えることができます．
1.直列合成
電気容量$C_{1}$，$C_{2}$，$\dots$，$C_{n-1}$，$C_{n}$の$n$個のコンデンサーを直列に結ぶ．
上図のように，点線で囲まれた各部分の電荷の和が0のとき，この$n$個のコンデンサーの合成容量$C$は次のような関係式を満たす．
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dots +\dfrac{1}{C_{n-1}}+\dfrac{1}{C_{n}}$
2.並列合成
電気容量$C_{1}$，$C_{2}$，$\dots$，$C_{n-1}$，$C_{n}$の$n$個のコンデンサーを直列に結ぶ．
この$n$個のコンデンサーの合成容量$C$は次のような関係式を満たす．
$C=C_{1}+C_{2}+\dots +C_{n-1}+C_{n}$
つまり，2つのコンデンサーの電気容量を$C_{1} , C_{2}$として，合成容量を$C$とすると
$\eqalign{\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}\cr C=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$
なので，角振動数$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\dfrac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}}$で，振動の周期$T$は
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{LC_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$
だね．
そして，2つのコンデンサーの電圧を$V$，回路に流れる電流を$i$として，
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}V^{2}+\dfrac{1}{2}Li^{2}=$一定
が成り立つんだね．
そうですね．
ちなみに，下図の状態から，スイッチを閉じた瞬間を時刻$t=0$として，時刻$t$において，容量$C_{1}$および$C_{2}$のCに対するBの電位を$V_{1}$，Cに対するAの電位を$V_{2}$，蓄えている電荷を$q_{1}$，$q_{2}$，回路に流れる電流を$i$とします．
NEKOさんがおっしゃったように，角振動数は$\omega= \sqrt{\dfrac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}} $で，はじめに蓄えられている電荷を$Q_{0}$とすると
$q_{1}=Q_{0}\cos \omega t$
$q_{2}=Q_{0}\cos \omega t$
$i=i_{0}\sin \omega t$
$V_{1}=\dfrac{Q_{0}}{C_{1}}\cos \omega t$
$V_{2}=\dfrac{Q_{0}}{C_{2}}\cos \omega t$
となります．$i_{0}$はエネルギー保存則で求めることができます．
電流の大きさが最大になるときは，コンデンサーの電圧（電荷）は0なので
$\dfrac{1}{2}Li_{0}^{2}=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}$
$i_{0}=Q_{0}\sqrt{\dfrac{1}{LC}}$
コンデンサーを合成してしまえば，コンデンサーが1つの場合と同じように考えることができるんだね．
ところで，微分方程式でかくとどうなるんだろう？？
では，式を立ててみましょう．
★ コンデンサーの基本式
$q_{1}=C_{1}V_{1}$ $\dots (\ast)$
$q_{2}=C_{2}V_{2}$ $\dots (2\ast)$
★ 電荷保存則
$-q_{1}+q_{2}=0$ $\therefore q_{1}=q_{2}$ $\dots (3\ast)$
$(3\ast)$より，$q_{1}=q_{2}=q$$\dots (4\ast)$とおく
★ キルヒホッフ則
$\dfrac{q_{1}}{C_{1}}+\dfrac{q_{2}}{C_{2}}-L\dfrac{di}{dt}=0$
$(4\ast)$より
$\dfrac{q}{C_{1}}+\dfrac{q}{C_{2}}-L\dfrac{di}{dt}=0$
この式で$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}$とおけば，こちらの記事の$(2\ast)$と同じ式になるんだね．
そうですね．つまり，この先は計算しなくとも，合成してしまえば，同じ結果になることがわかるはずです．
初期状態において，電荷の和が0の場合，コンデンサーの直列合成をして問題を解く．合成容量を$C$，コイルの自己インダクタンスを$L$と，次の3つをおさせる．
1. 角振動数$\omega$は，$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
2. 電流の大きさが最大のとき，電荷が0．電荷がが最大のとき，電流は0
3. $\dfrac{1}{2}CV^{2}+\dfrac{1}{2}Li^{2}=$一定が成り立つ．
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