<問題>
<解答>
こちらでも類題を扱っています．
まずは，スイッチ$\rm S_{1}$を閉じて十分時間が経つと，電気容量$C$のコンデンサーの電圧と直流電源の電圧が等しくなる．コンデンサーの基本式より，蓄えられてた電荷$Q_{0}$は
$Q_{0}=CE_{0}$ $\cdots (\ast)$
次に$\rm S_{1}$を開いて$\rm S_{2}$を閉じると電気振動がはじまる．ここで気をつけて欲しいのが，コイルに流れる電流が最大になるときは，コンデンサーの電圧は$0$（蓄えられている電荷が$0$）というわけではないということ．基本的な$LC$振動回路が「（電流が最大になるとき）=（コンデンサーの電荷が0のとき）」なので勘違いしやすい．
電流が最大になるのは，「電流の時間変化が$0$のとき」である．
このとき，上図のように，電流が最大になるのは，$i-t$グラフの傾きが$0$のときである．すると，コイルに生じる誘導起電力の大きさ$V_{L}$は
$V_{L}=L|\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}|$
なので，電流が最大になるのは，コイルの誘導起電力が0のときである．
上図のように，電位，電荷を設定すると，$(\ast)$から，点線部分の電荷保存則より
$Q_{1}+Q_{2}=CE_{0}$ $\cdots (2\ast)$
また，コンデンサーの基本式より
$Q_{1}=CV$， $Q_{2}=2CV$ $\cdots (3\ast)$
$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入して，$V$を求めると
$CV+2CV=CE_{0}$ $\therefore\,\,V=\dfrac{E_{0}}{3}$
したがって，電流が最大になるとき，コンデンサーの静電エネルギーの和$U_{\rm C}$は
$U_{\rm C}=\dfrac{1}{2}C\left(\dfrac{E_{0}}{3}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 2C\left(\dfrac{E_{0}}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{6}CE_{0}^{2}$
となる．電流の最大値を$I$として，$\rm S_{2}$を閉じた直後と電流が最大になるときでエネルギー保存則を立てると
$\dfrac{1}{2}CE_{0}^{2}=\dfrac{1}{6}CE_{0}^{2}+\dfrac{1}{2}LI^{2}$
$\therefore\,\, I=E_{0}\sqrt{\dfrac{2C}{3L}}$ (答)
コメント