$TV$図から$PV$図への変換練習①

問題

理想気体を状態A$\to$B$\to $C$\to $Aと変化させた．そのときの絶対温度$T$と体積$V$の関係は上図のように表される．ただし，直線ABは原点Oを通る直線である．状態Aでの圧力を$P_{0}$とする．このとき，縦軸を圧力$P$，横軸を体積$V$とした$PV$図をかけ．

<解答>

①　A$\to $Bについて

$TV$図をみると，A$\to $Bでは$T$と$V$は比例関係にある．つまり，比例定数$\alpha$を用いれば

$T=\alpha V$　$\cdots (\ast)$

の関係があります．一方，ボイル・シャルルの法則より，

$\dfrac{V}{T}=$一定$(=\alpha)$なら，$(\ast)$と同じ式になります．

したがって，A$\to $Bは定圧変化です．

②　B$\to $Cについて

B$\to$Cは体積一定のまま温度が下がっているので，定積変化です．

状態Cでの圧力を$P_{\rm C}$として，状態Aと状態Cでボイル・シャルルの法則を立てて，$P_{\rm C}$を求めます．

\begin{align} &\overbrace{\dfrac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}}^{状態 \rm A}=\overbrace{\dfrac{P_{\rm C}\times 2V_{0}}{T_{0}}}^{状態 \rm C}\\ &\therefore\,\,\, P_{\rm C}=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}P_{0}} \end{align}

③　C$\to $Aについて

C$\to$Aは温度を一定のまま体積を小さくしているので，等温変化．

$T=$一定のときは状態方程式より

$PV=nRT=$一定

$\therefore\,\, \textcolor{blue}{P}=\dfrac{一定}{\textcolor{green}{V}}$

が成り立つので，

\begin{align*} \textcolor{blue}{y}=a\textcolor{green}{x} \end{align*}

と同じ形の反比例のグラフのようになります．

ということで，$PV$図になおすと，上図のようになります．(終)