交流演習 コンデンサーをつなぐ

分野別
問題

上図のように,交流電源と電気容量$C$のコンデンサーをつないだ.

時刻$t$におけるGに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$のとき,次の問いに答えよ.

ただし,$V_{0}>0$とする.

(1) 時刻$t$において,A側にある極板に蓄えられている電荷$Q(t)$を求めよ.

(2) 回路に流れる電流を上図の向きに$i(t)$とする.$i(t)$を求めよ.

(3) コンデンサーの平均電力$\bar P$を求めよ.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

コンデンサーの基本式が任意の時刻で成り立ちます.

電気容量の定義式(コンデンサーの基本式)

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

★ コンデンサーの基本式

$\eqalign{Q(t)&=CV(t)\\&=CV_{0}\sin\omega t}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

電流の定義式を使いましょう.

電流の定義

時間$\varDelta t$の間に電気量$\varDelta Q$が通過するときの電流の大きさ$i$は

$i=\dfrac{\varDelta Q}{\varDelta t}$

$Q$が時間$t$の一次関数以外のときは,$\varDelta t\rightarrow 0$として

$\displaystyle{i=\lim_{\varDelta t\rightarrow 0}\dfrac{\varDelta Q}{\varDelta t}=\dfrac{dQ}{dt}}$

★ 電流の定義式

$\eqalign{i(t)&=\dfrac{dQ(t)}{dt}\\&=CV_{0}\dfrac{d}{dt}(\sin\omega t)\\&=\omega CV_{0} \cos\omega t}$ (答)

NEKO
NEKO

上の式より,$i(t)$の最大値は$\omega CV_{0}$となります.電流の最大値を$i_{0}$とすれば

$i_{0}=\omega CV_{0}$

$\therefore V_{0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$

このとき,$\dfrac{1}{\omega C}$容量リアクタンスといいます.

(3) 

NEKO
NEKO

電力の時間変化は$P(t)$は

$P(t)=i(t)V(t)$

です.

★ 電力

$\eqalign{P(t)&=i(t)V(t)\\&=(\omega CV_{0}\cos\omega t)\cdot(V_{0}\sin\omega t)\\&=\omega CV_{0}^{2}\sin\omega t \cos\omega t}$

NEKO
NEKO

倍角の式使って,電力の式を変形しましょう.

倍角の式

$\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$P=\omega CV_{0}^{2}\cdot \dfrac{1}{2}\sin 2\omega t$

NEKO
NEKO

$\sin 2\omega t$の平均は$0$になります.

したがって,コンデンサーの平均電力は$0$です.

コメント

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