[交流] 電力と静電エネルギーの関係[コンデンサー]

分野別
NEKO
NEKO

今回は,電力と静電エネルギーの関係について話をしたいと思います.

この2つにはどのような関係があるのでしょうか?

NEKO
NEKO

上図のように,時刻$t$において,Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$のとき,電流$i(t)$を求めましょう.

回路素子にかかる電圧または電流のどちらかがわかっているとき,電流または電圧を求めるときは,次のステップで解きましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

★ 電流の最大値

電流の最大値を$i_{0}$とすると

$V_{0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$ $\therefore i_{0}=\omega CV_{0}$

★ 位相のずれ

コンデンサーに流れる電流は,電圧に対して位相が$\dfrac{\pi}{2}$進む.

以上から時刻$t$における電流$i(t)$は

$\eqalign{i(t)&=\omega CV_{0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega CV_{0}\cos\omega t}$

NEKO
NEKO

電力を計算してみましょう.

電力$P$は電流を$I$,電圧を$V$とすると

$P=IV$

で表されます.

★ 電力$P(t)$の計算

$\eqalign{P(t)&=i(t)V(t)\\&=(\omega CV_{0}\cos\omega t)\cdot (V_{0}\sin \omega t)\\&=\omega CV_{0}^{2}\sin\omega t \cos\omega t \dots (\ast)}$

NEKO
NEKO

一方,コンデンサーに蓄えられるエネルギー$U$は次のようになります.

静電エネルギー

電気容量$C$,コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,電圧を$V$とすると,静電エネルギーを$U$として,次式が成り立つ.

$U=\dfrac{1}{2}QV=\dfrac{1}{2}CV^{2}=\dfrac{V^{2}}{2C}$

★ 静電エネルギー$U$

$\eqalign{U&=\dfrac{1}{2}CV(t)^{2}\\&=\dfrac{1}{2}C(V_{0}\sin\omega t)^{2}\\&=\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}\sin^{2}\omega t \dots (2\ast)}$

NEKO
NEKO

さて,$(\ast)$と$(2\ast)$はどのような関係があるのでしょうか?

電力$P$は

「単位時間当たりの電流がする仕事」

静電エネルギーは

「時刻$t$にコンデンサーに蓄えられているエネルギー」

です.

すると,単位時間当たりに電流が仕事をした分だけ,静電エネルギーが変化していることが予想できます.

では,確かめていきましょう.

静電エネルギー$U$を時間$t$で微分しましょう.

$\eqalign{\dfrac{dU}{dt}&=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}\sin^{2}\omega t)\\&=\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}\dfrac{d}{dt}(\sin^{2}\omega t)\\&=\dfrac{1}{2}CV_{0}^{2}\cdot (\sin\omega t)^{\prime}\cdot 2\sin\omega t\\&=\omega CV_{0}^{2}\sin\omega t \cos\omega t}$

NEKO
NEKO

やはり,$(\ast)$の形と同じになりましたね.

電力$=$静電エネルギーの変化

が成り立っています.

交流電源につないだとき,静電エネルギーは増加と減少を周期的に繰り返し,その結果,電力の平均は0となります.

こちらの記事で具体的な計算をしているので参考にしてください.

コメント