図のように，水平な床の上に，質量$m$の半円柱をおき，$\rm B$に糸を取りつけ力を加える．糸を鉛直に張ると半円柱は$\rm A$で床と接しつり合った．このとき，半円柱の上面は水平面とのなす角$\theta(0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$である．半円柱の重心は$\rm G$であり，円柱の底面である半円の半径を$r$とし，半円の中心を$\rm O$とすると，${\rm OG}=a$であった．重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．
(1) 点$\rm A$にはたらく垂直抗力の大きさを$N$，点$\rm B$にはたらく張力の大きさを$T$とする．このとき，半円柱にはたらく鉛直方向の力のつり合いの式を立てよ．
(2) 点$\rm A$まわりの力のモーメントのつり合いの式を立て，張力の大きさ$T$および，(1)より，垂直抗力の大きさ$N$を求めよ．
＜解答＞
半円柱にはたらく力は上図の3つです．
$\rm A$点に垂直抗力がはたらき，重心$\rm G$に重力が，点$\rm B$には張力がはたらきます．
$\rm A$点の摩擦力は？？
と疑問に思うかもしれませんが，水平方向にはたらく力のつり合いを考えれば，摩擦力ははたらかないことがわかります．
★ 鉛直方向のつり合いの式
$T+N=mg$ $\dots (\ast)$ (答)
(2)
次に，点$\rm A$まわりの力のモーメントのつり合いの式を立てます．
ここでは，「作用線平行移動の原理」を使いましょう．
中心を$\rm O$とし，ある始点にはたらく力のモーメントを計算するとき，力の作用線上のどこに移動させても力のモーメントは同じである．
点$\rm A$から重力の作用線，張力の作用線に垂線を下し，その交点を$\rm G^{\prime}$，$\rm B^{\prime}$とし，$\rm G^{\prime}$，$\rm B^{\prime}$まで，力の始点を移動させます．
${\rm AG^{\prime}}=a\sin\theta$（緑線），${\rm AB^{\prime}}=r\cos\theta$(赤線)も確認できます．
中心$\rm O$から距離$r$の点$\rm A$を始点とした大きさ$F$の力がはたらいている．この力の$\rm OA$方向の成分を$F_{1}$，$\rm OA$に垂直な成分を$F_{2}$とすると，力$F$の点$\rm O$まわりの力のモーメントの大きさ$N$は
$N=rF_{2}$
★ $\rm A$まわりの半円柱に関する力のモーメントのつり合いの式
$a\sin\theta\cdot mg=r\cos\theta\cdot T$
$\therefore T=\dfrac{a\tan\theta}{r}mg$ (答)
$(\ast)$より
$\eqalign{N&=mg-T\\&=mg-\dfrac{a\tan\theta}{r}mg\\&=\left(1-\dfrac{a\tan\theta}{r}\right)mg}$ (答)
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