<解答>
(1)
極板A,Bに電荷$Q_{1}$,$-Q_{1}$が蓄えられたときに,これらの電荷によってつくられる電場の大きさ$E_{1}$は
$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$
となるんだったね.
平面に分布した電荷がつくる電場と,各電荷がつくる電場の重ね合わせを考えれば理解できるよ.
さらに,誘電体内部の電場は次のようになるよ.
この記事でも説明しているので,参考にしてね.
つまり,誘電体内部の電場の大きさは比誘電率が$2.0$であることから,$\dfrac{E_{1}}{2}$となるよ.
電池をつないだまま誘電体を挿入するので,極板ABの電位差と電源の電位差は等しいね.
次の関係を使って,式を立ててみましょう.
★ 極板ABの電位差の式
$\eqalign{V_{0}&=E_{1}\cdot \dfrac{d}{3}+\dfrac{E_{1}}{2}\dfrac{d}{3}+E_{1}\cdot \dfrac{d}{3}\\&=\dfrac{5}{6}E_{1}d}$
$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$を代入して
$V_{0}=\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}\cdot d$
$Q_{1}$について解いて
$Q_{1}=\dfrac{6\varepsilon_{0}S}{5d}V_{0}$
(2)
(1)で得た式を利用して,コンデンサーの電気容量を求めてみましょう.
★ 誘電体挿入後のコンデンサーの電気容量$C_{1}$
$C_{1}=\dfrac{Q_{1}}{V_{0}}=\dfrac{6\varepsilon_{0}S}{5d}$
したがって,答えは,$C_{1}=\dfrac{6\varepsilon_{0}S}{5d}$
(3)
誘電体挿入前のコンデンサー内の電場$E_{0}$は
$E_{0}=\dfrac{V_{0}}{d}$
だね.
一方,誘電体挿入後は(1)で考えたように
$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$
であって,ここに,$Q_{1}=\dfrac{6\varepsilon_{0}S}{5d}V_{0}$を代入すると
$E_{1}=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}S}\cdot \dfrac{6\varepsilon_{0}S}{5d}V_{0}=\dfrac{6V_{0}}{5d}=\dfrac{6}{5}E_{0}$
となるんだね.
だから,グラフは次のようになるよ.
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