以下，波の振幅を$A\,(>0)$，波長を$\lambda$，媒質の振動の周期を$T$，振動数を$f$，角振動数を$\omega$とする．$x$軸上を伝わる波について，次の問いに答えよ．
(1) 原点における時刻$t$において，原点の媒質の変位$y$が$y=A\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$で，振動している．波が$x$軸の正負両方向に速さ$v$で伝わっているとき，$x\,(>0)$における時刻$t$の波の変位$y_{+}$と$x\,(<0)$における時刻$t$の波の変位$y_{-}$をそれぞれ$A，T，x，v，t$を用いて表せ．
(2) $x$軸の負の方向から速さ$v$の正弦波が伝わっている．時刻$t$における原点の媒質の変位が$y=A\cos(\omega t)$のとき，$x\,(>0)$における時刻$t$の波の変位$y_{+}$と$x\,(<0)$における時刻$t$の波の変位$y_{-}$をそれぞれ$A，\omega，x，v，t$を用いて表せ．
(3) $x$軸の正方向から速さ$v$で正弦波が伝わっている．時刻$t$における原点の媒質の変位が$y=A\sin(2\pi ft)$のとき，$x\,(>0)$における時刻$t$の波の変位$y_{+}$と$x\,(<0)$における時刻$t$の波の変位$y_{-}$をそれぞれ$A，\omega，x，v，t$を用いて表せ．
(4) 時刻$0$において，位置$x$の波の変位が$y=A\cos\left(\dfrac{2\pi }{\lambda}x\right)$であるとする．波が$x$軸の正方向に速さ$v$で進行するとき，時刻$t$における位置$x$の波の変位$y(x，t)$を$A，\lambda，x，v，ｔ$を用いて表せ．
(5) 時刻$0$において，位置$x$の波の変位が$y=A\sin\left(\dfrac{2\pi }{\lambda}x\right)$であるとする．波が$x$軸の負方向に速さ$v$で進行するとき，時刻$t$における位置$x$の波の変位$y(x，t)$を$A，\lambda，x，v，ｔ$を用いて表せ．
<解答>
(1) $y_{+}$について
位置$x\,(>0)$の振動は時間$\dfrac{x}{v}$前の原点の振動と同じであるから
$y_{+}=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{x}{v}\right)\right\}$ (答)
$y_{-}$について
位置$x\,(<0)$の振動は時間$\dfrac{|x|}{v}=-\dfrac{x}{v}$ 前の原点の振動と同じであるから
$\eqalign{y_{-}&=A\sin\left[\dfrac{2\pi}{T}\left\{t-\left(-\dfrac{x}{v}\right)\right\}\right]\\&=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t+\dfrac{x}{v}\right)\right\}}$ (答)
(2) $y_{+}$について
位置$x\,(>0)$の振動は時間$\dfrac{x}{v}$前の原点の振動と同じであるから
$y_{+}=A\cos\left\{\omega\left(t-\dfrac{x}{v}\right)\right\}$ (答)
$y_{-}$について
位置$x\,(<0)$の振動は時間$\dfrac{|x|}{v}=-\dfrac{x}{v}$後の原点の振動と同じであるから
$\eqalign{y_{-}&=A\sin\left[2\pi f\left\{t-\left(-\dfrac{x}{v}\right)\right\}\right]\\&=A\sin\left\{2\pi f\left(t+\dfrac{x}{v}\right)\right\}}$ (答)
(3) $y_{+}$について
位置$x\,(>0)$の振動は時間$\dfrac{x}{v}$後の原点の振動と同じであるから
$y_{+}=A\cos\left\{2\pi f\left(t+\dfrac{x}{v}\right)\right\}$ (答)
$y_{-}$について
位置$x\,(<0)$の振動は時間$\dfrac{|x|}{v}=-\dfrac{x}{v}$前の原点の振動と同じであるから
$\eqalign{y_{-}&=A\sin\left[2\pi f\left\{t-\left(-\dfrac{x}{v}\right)\right\}\right]\\&=A\sin\left\{2\pi f\left(t+\dfrac{x}{v}\right)\right\}}$ (答)
(4) 波は時間$t$後，$x$軸正方向へ$vt$だけ平行移動するので
$y(x，t)=A\cos\left\{\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(x-vt\right)\right\}$ (答)
(5) 波は時間$t$後，$x$軸負方向へ$vt$だけ平行移動するので
$y(x，t)=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(x+vt\right)\right\}$ (答)
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