気体分子運動論 基礎の基礎7 エネルギー等分配則

NEKO
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質量$m$で速さ$v_{x}$の気体分子が横幅$L$の断熱容器の中で運動しているとき,気体分子が断熱容器の壁に及ぼす力の大きさ$f$は

$f=\dfrac{mv_{x}^{2}}{L}$

だったね.(こちらで計算しました.)

1つ1つの速さが異なるはずなので,$N$個の分子の速さをそれぞれ$v_{x1},v_{x2},\cdots,v_{xN}$とすると,それぞれの気体がが壁をおす力は

$\dfrac{mv_{x1}^{2}}{L},\dfrac{mv_{x2}^{2}}{L},\cdots ,\dfrac{mv_{xN}^{2}}{L}$

であり,力の和$F$は

$F=\dfrac{m}{L}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2})$

PHYさん
PHYさん

そのようになりますね.

ここで,前回確認した「平均」を使いましょう.

NEKO
NEKO

$v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2}$の平均値を$\overline{v_{x}^{2}}$とすると

$v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2}=N\overline{v_{x}^{2}}$

なので,力の和は

$\eqalign{F&=\dfrac{m}{L}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2})\\&=\dfrac{m}{L}\times N\overline{v_{x}^{2}}} \cdots (\ast)$

とかくことができるね.

PHYさん
PHYさん

また,今考えた気体分子の速度は壁に垂直な成分です.実際は3次元方向に飛び回っています.

一般的に$\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$としたとき,

$|\vec{a}|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

の関係があります.なので,気体分子の速度を$\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})$とすると

$|\vec{v}|^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$の関係があります.$|\vec{v}|^{2}=v^{2}$としましょう.すると

$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$

となります.

平均値をとってもこの関係が成り立つので

$\overline{v^{2}}=\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{y}^{2}}+\overline{v_{z}^{2}}$ $\cdots (2\ast)$

となります.

平均をとると$x$成分,$y$成分,$z$成分も同じになるはずなので,

$\overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}}$ $\cdots (3\ast)$

が成り立ちます.これをエネルギー等分配則といいます.$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入して,$\overline{v_{x}^{2}}$を$\overline{v^{2}}$を用いて表してみましょう.

$\overline{v^{2}}=\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{x}^{2}}=3\overline{v_{x}^{2}}$

$\therefore\,\,\overline{v_{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}\overline{v^{2}}$ $\cdots (4\ast)$

NEKO
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$(4\ast)$を$(\ast)$に代入すると

$F=\dfrac{m}{L}\times N\overline{v_{x}^{2}}=\dfrac{m}{L}\times N\times \dfrac{1}{3}\overline{v^{2}}=\dfrac{Nm\overline{v^{2}}}{3L}$

になるね.

PHYさん
PHYさん

はい.そして,圧力$P$の定義から,断面積を$S$とすると

$P=\dfrac{F}{S}=\dfrac{Nm\overline{v^{2}}}{3SL}$

を導くことができます.

次回はここまでの計算の練習をしましょう.

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