前回の内容はこちらです．
今回はエネルギー等分配則の説明をしていきます．
また，以下の話は単原子分子理想気体について考えています．
質量$m$で速さ$v_{x}$の気体分子が横幅$L$の断熱容器の中で運動しているとき，気体分子が断熱容器の壁に及ぼす力の大きさ$f$は
$f=\dfrac{mv_{x}^{2}}{L}$
だったね．（こちらで計算しました．）
1つ1つの速さが異なるはずなので，$N$個の分子の速さをそれぞれ$v_{x1}，v_{x2}，\cdots，v_{xN}$とすると，それぞれの気体がが壁をおす力は
$\dfrac{mv_{x1}^{2}}{L}，\dfrac{mv_{x2}^{2}}{L}，\cdots ，\dfrac{mv_{xN}^{2}}{L}$
であり，力の和$F$は
$F=\dfrac{m}{L}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2})$
そのようになりますね．
ここで，前回確認した「平均」を使いましょう．
$v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2}$の平均値を$\overline{v_{x}^{2}}$とすると
$v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2}=N\overline{v_{x}^{2}}$
なので，力の和は
$\eqalign{F&=\dfrac{m}{L}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+\cdots +v_{xN}^{2})\\&=\dfrac{m}{L}\times N\overline{v_{x}^{2}}} \cdots (\ast)$
とかくことができるね．
また，今考えた気体分子の速度は壁に垂直な成分です．実際は3次元方向に飛び回っています．
一般的に$\vec{a}=(a_{1}，a_{2}，a_{3})$としたとき，
$|\vec{a}|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$
の関係があります．なので，気体分子の速度を$\vec{v}=(v_{x}，v_{y}，v_{z})$とすると
$|\vec{v}|^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$の関係があります．$|\vec{v}|^{2}=v^{2}$としましょう．すると
$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$
となります．
平均値をとってもこの関係が成り立つので
$\overline{v^{2}}=\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{y}^{2}}+\overline{v_{z}^{2}}$ $\cdots (2\ast)$
となります．
平均をとると$x$成分，$y$成分，$z$成分も同じになるはずなので，
$\overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}}$ $\cdots (3\ast)$
が成り立ちます．これをエネルギー等分配則といいます．$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入して，$\overline{v_{x}^{2}}$を$\overline{v^{2}}$を用いて表してみましょう．
$\overline{v^{2}}=\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{x}^{2}}=3\overline{v_{x}^{2}}$
$\therefore\,\,\overline{v_{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}\overline{v^{2}}$ $\cdots (4\ast)$
$(4\ast)$を$(\ast)$に代入すると
$F=\dfrac{m}{L}\times N\overline{v_{x}^{2}}=\dfrac{m}{L}\times N\times \dfrac{1}{3}\overline{v^{2}}=\dfrac{Nm\overline{v^{2}}}{3L}$
になるね．
はい．そして，圧力$P$の定義から，断面積を$S$とすると
$P=\dfrac{F}{S}=\dfrac{Nm\overline{v^{2}}}{3SL}$
を導くことができます．
次回はここまでの計算の練習をしましょう．
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